神奇的完全数——发点专业的~

老蹲

<BR><BR><SPAN style="FONT-SIZE: 12px">如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和，则这个数叫做完全数(Perfect numbers).<BR>　　在自然数里，到底有多少完全数呢?有人作过统计：<BR>　　6=1＋2＋3,<BR>　　28=1＋2＋4＋7＋14,<BR>　　496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248,<BR>　　8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064.<BR>　　看来，完全数不多，已初步看到，前八千多个正整数才4个!物以稀为贵，完全数稀罕.在1到40000000这么多数里，只有七个完全数，它们是:6，28，496，8128，130816，2096128，33550336.可见完全数是非常稀少的.<BR>　　从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过一千多年，这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍.这可能是历经一千多年才艰难跨出一步的原因.用完满来形容6，28，496，…这一类数很恰当.这种数一方面表现在它稀罕、奇妙，一方面表现在它的完满，各因数的和不多不少等于它自己.完全数还有一些令人感到神奇的鲜为人知的有趣事实，π数值取小数点后面3位相加恰是第一个完全数6(=1＋4＋1)，小数点后7位相加正好等于第2个完全数 28(= 1＋4＋1＋5＋9＋2<BR>＋6).居然能有如此的联系，难道不足以令人惊讶吗?具体地说，完全数还具有以下的有趣事实： <BR>　　(1)所有已知的完全数，除6以外，其数字和均为1.也就是说，它们的数字反复相加的最终结果等于1.<BR>　　例如: 496<BR>　　4＋9＋6=19,1＋9=10,1＋0=1.<BR>　　(2)所以完全数都可以表示为2的一些连续整数次幂之和，如BR>　　6=21＋22，<BR>　　28=22＋23＋24,<BR>　　496=24＋25＋26＋27＋28,<BR>　　8128=26＋27＋28＋…＋212，<BR>　　33550336=212＋213＋214＋…＋224.<BR>　　(3)除了6以外，其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和，如：<BR>　　28=13＋33，<BR>　　496=13＋33＋53＋73,<BR>　　8128=13＋33＋53＋…＋153，<BR>　　33550336=13＋33＋53＋…＋1253＋…＋1273.<BR>　　如此完美的模式，难怪完全数如此的迷人，具有魅力，因此，完全数是极美的数.<BR>　　(4)迄今为止，发现的完全数都是偶数，还没有发现一个奇完全数，但也没有证明奇完全数不存在.<BR>　　(5)迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：<BR>　　N=2n－1(2n－1)(其中n与2n－1都是素数,这里是n次方,n-1次方).<BR>　　事实上，在欧几里得《几何原本》卷九中的最后一个定理，就是关于完全数的，它陈述如下：<BR>　　“如果2n－1是一个素数，则2n－1(2n－1)是一个完全数.”<BR>　　对于n=2，我们得到完全数6.对于n=4，由于24－1不是素数，所以结果不会产生一个完全数，对完全数的探索，古往今来始终困扰着数学家.<BR>　　直到现在还没有人发现一个完全数，也没有一个人能够证明奇完全数不存在(这是数论中著名的未解决的问题之一.)人们认为欧几里得定理的逆命题(“每个完全数有2n－1(2n－1)的形式，这里2n－1是一个素数”)可能成立，但至今没有人能够证明.瑞士数学家欧拉(Leonard Euler , 1707－1783)证明了所有偶完全数都应当有这样的形式.对完全数的探索一直持续到今天.<BR>　　今天，人们借助于计算机找到了当n=521,607,1279,2203,2281,3217,7090,4253,4423时相应的完全数.此外，n=9689,9941,11213,19937时也给出了完全数.你能想像这些完全数有多大.倒如，1963年，伊利诺斯大学发现了对于n=11213时的完全数，它包含6751个数字，有22425个因子.至1998年2月，人们知道的完全数共37个.最后一个完全数相应的n=3021377.<BR>　　寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为止也还只发现了37个.为什么去寻找呢?是因为这种数在现实生活中有什么特别的用途吗?目前确实还没有发现，是它的奇异和美丽吸引了许多的人.完全数还有着许多其他的特殊性质，这里提到的只是其中那些历经漫漫岁月而人们兴趣依旧不衰的内容，这也正是我们论述它的最充分的理由.</SPAN>

默默

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